DETERMINACIÓN DE MAGNITUDES
CALIBRACIÓN DE MAGNITUDES INSTRUMENTALES
Edgardo Lima
La fotometría es la medición de la intensidad de la luz (según la RAE:http://dle.rae.es/?id=IKi3X0u ) podemos extenderla a la medición de la radiación electromagnética.
Como toda medición, requiere un elemento de medición (detector), una unidad de medida y un origen de la escala (cero).
Como toda medición estará afectada por la precisión del instrumento utilizado (diferencia entre los resultados de una misma medición) y de los errores propios del procedimiento (sistemáticos y aleatorios; del instrumento y del observador, etc.) es lo que denominamos “exactitud” (diferencia entre lo medido y la “realidad”).
Un astro cualquiera, imaginemos en principio una estrella lejana, emite radiación de una manera similar a la que lo haría un cuerpo negro a igual temperatura. Parte de esa radiación es recibida por un observador en la Tierra (incluimos a los observatorios en órbita). Una parte a su vez de esa radiación recibida la podemos, en muchos casos, “ver”. Es decir “vemos” algunas estrellas. Desde muy antiguo el hombre observó que algunas estrellas eran “más brillantes” que otras. Con el objeto de establecer una clasificación de las estrellas de acuerdo a su “brillantez”, Hiparco (150 aC) propuso dividir a las estrellas en cinco categorías de acuerdo a su brillo que hoy llamamos de magnitudes. Las más brillantes con magnitud 1 y las menos brillantes con magnitud 5. La determinación de la magnitud de una estrella se realizaba mediante la observación a “ojo desnudo”, aunque en el siglo XVIII comenzaron a utilizarse los fotómetros de extinción.
La escala resultaba de dividir el intervalo en partes iguales. Este procedimiento se empleó durante casi dos mil años. Fue N. Pogson en 1856 quien, en base a algunas ideas previas, propone considerar una relación de brillos igual a 100 entre las estrellas de primera y quinta magnitud y de tal manera que la relación entre las magnitudes consecutivas mi+1/mi se mantuviera constante. Resulta para esa relación el valor 1001/5 = 2.51 y la conocida expresión para la relación entre las magnitudes y los brillos de dos estrellas: ma – mb = -2.5 log ba/bb
Esto permitía extender la escala para valores por encima de 5m y por debajo de 1m (incluso valores negativos). Posteriormente se fijó como origen (cero de la escala) a la magnitud aparente de la estrella Vega (alpha Lyrae).
A partir de la segunda mitad del siglo XVIII comenzaron a utilizarse instrumentos que permitían mejorar la determinación de las magnitudes siempre en forma visual. Fueron los fotómetros de extinción (se atenuaba la imagen de la estrella hasta que fuera imperceptible) y los de comparación (permitían comparar las imágenes de dos estrellas, una de magnitud conocida).
En 1851 se obtienen las primeras imágenes fotográficas (en realidad daguerrotipos) astronómicas pero es recién en 1871 que las emulsiones fotosensibles permiten realizar exposiciones de larga duración con aplicación en la fotometría. Esta nueva técnica permitía determinar magnitudes mucho mayores (brillos menores), hacerlo con mucha mayor precisión y mantener el registro de manera que pudiera ser comparado con otras observaciones. Debe tenerse en cuenta que las emulsiones fotográficas captan la radiación en un rango de longitudes de onda diferente al del ojo humano [son más sensibles en las longitudes de ondas cortas (azul) y menos en las longitudes de onda más largas (rojo)]. Schwarzchild cerca de 1900 ya observó que las magnitudes fotográficas no coincidían con las magnitudes visuales
Alrededor de 1915 comienzan a desarrollarse los fotómetros fotoeléctricos con una mejora muy importante a partir de 1940 con la incorporación de los tubos fotomultiplicadores que permitían incrementar fuertemente la señal.
Con el aumento de la precisión de los procedimientos para determinar las magnitudes se corrobora lo que ya se venía observando desde la época de la fotometría visual: Las magnitudes observadas visualmente no son proporcionales a los brillos (dos estrellas de igual magnitud visual pueden presentar distinta magnitud fotográfica según sea su color o lo que es lo mismo su temperatura). Se hace necesario realizar la fotometría en un cierto rango de longitudes de onda. Para ello se utilizan los filtros que permiten el paso de la luz de la estrellas dentro de un cierto rango de longitudes de onda.
Los filtros no son “perfectos” dejan pasar un rango de longitudes de onda (fig 1) con diferente eficiencia, sensibilidad o respuesta.
A partir de esta función S(\lambda) podemos definir la longitud de onda media o equivalente mediante la expresión:
Que sólo depende de las características del filtro.
Si queremos considerar la respuesta frente a una fuente heterocromática, por ejemplo una estrella, podemos definir la longitud de onda efectiva:
Donde F(lambda) es la función de la energía radiada por la fuente para cada valor de la longitud de onda.
Cada filtro tendrá su longitud de onda equivalente y su ancho de banda a mitad de la altura (FWHM) o pasabanda.
Según cual sea el objetivo de nuestra observación podremos utilizar distintos tipos de filtro, de distinto color (lambda0) y de distinto ancho de banda; filtros de banda ancha FWHM > 300 Å, banda media entre 100 y 300 Å y angosta < 100 Å.
En 1953 Johnson y Morgan crean un sistema de filtros constituidos por tres unidades U, B, V que permiten el paso de la radiación ultravioleta, azul y visible (fig 2). Se trata de filtros de banda ancha.
Luego con el tiempo fueron apareciendo una gran cantidad de sistemas de filtros con distintas características, bandas medias y angostas, otros colores o longitudes de onda (fig 3).
A partir de los años 1970 se comenzaron a utilizar con fines astronómicos los detectores o cámaras CCD (Charge Coupled Device) cuyas imágenes similares a las de las placas fotográficas presentan la gran ventaja de poder ser analizadas y manipuladas electrónicamente (mediante un software).
Calibrar un instrumento (telescopio, filtro, detector, etc.) significa determinar la magnitud que debería obtenerse con dicho instrumento suponiendo que se observara una estrella estándar desde fuera de la atmósfera. En realidad en un detector CCD lo que obtenemos es la cantidad de ADUs (Analog Digital Units) lo que es lo mismo porque la relación ADUS / flujo se mantiene lineal en la mayor parte del rango de lectura (es importante conocer dicho límite de proporcionalidad). Supondremos aquí que la lectura del instrumento ha sido corregida por todos los factores que dependen del sistema de medición (ruido, eficiencias, etc.).
Inicialmente se definió como estrella estándar a Vega (alpha Lyrae) estableciendo su magnitud como “cero” para todas las longitudes de onda o colores. Ante la imposibilidad de observar Vega desde ciertos lugares (no está suficientemente alta sobre el horizonte, por ejemplo para nuestras latitudes) o durante ciertos períodos (no se encuentra sobre el horizonte durante la noche) se hace necesario establecer otras estrellas como estándares también.
Landolt (1992) elaboró un catálogo con estrellas cercanas al ecuador (ǀdeclinaciónǀ < 24°) que presentaran constancia en su luminosidad a lo largo del tiempo y diferentes índices de color y determinó sus magnitudes vinculadas con la magnitud de Vega. En el año 2000, Stetson (2000) extendió el trabajo sobre mayor número de estrellas, de mayor magnitud y otros sistemas de filtros.. En la figura 4 se muestra una parte de la tabla del trabajo original de Landolt.
Con independencia del equipo utilizado para “medir” la magnitud de una fuente, debemos corregir el valor observado debido a la extinción producida por la atmósfera.
En 1729 Pierre Bouguer propuso una ley empírica para considerar la extinción de un flujo luminoso al atravesar un medio cualquiera y que luego fuera deducida para el transporte de radiación dentro de un material homogéneo de caras plano-paralelas:
Donde I es la radiación recibida, I0 es la emitida, k es el coeficiente de absorción y l la distancia atravesada en el medio.
Aplicada a la extinción atmosférica, y en término de magnitudes se puede escribir:
Donde M es la magnitud observada, M0 es la magnitud fuera de la atmósfera, k es el coeficiente de absorción y X la masa de aire (cantidad de atmósfera recorrida por el rayo de luz respecto a la trayectoria sobre la vertical). Para pequeños valores de distancia cenital podemos suponer a la masa de aire como secante(z).
En otros casos se deberán considerar términos de orden superior, como por ejemplo:
El coeficiente de absorción k depende de múltiples factores pero, para una noche de observación con cielo despejado, se puede considerar constante para cada longitud de onda (es mayor para el azul que para el rojo) y en consecuencia podemos expresarlo como: k = k´ + k´´ (IC).
Para determinar el coeficiente de absorción se podrá observar una misma estrella con un mismo filtro repetidas veces durante la misma noche. Si la noche es fotómetrica las observaciones se ubicarán sobre una recta (fig. 6) cuya pendiente (en valor absoluto) será el coeficiente de extinción y la ordenada al origen dará la magnitud fuera de la atmósfera.
La calibración se podrá realizar con o sin la corrección por color, dependerá del objetivo de la determinación. Consideremos el caso más general, con corrección por color.
Plantearemos, suponiendo filtros Johnson, las siguientes ecuaciones:
mu = U + Au + [k´u + k´´u (U-B)] X
mb = B + Ab + [k´b + k´´b (B-V)] X
mv = V + Av + [k´v + k´´v (B-V)] X
donde los valores de U, B y V son las magnitudes de la estrella estándar para cada filtro, obtenidas del catálogo de Landolt, X es la masa de aire que corresponde a cada observación y mu, mb y mv son las magnitudes observadas obtenidas a partir de los correspondientes ADUS, con las correcciones propias del sistema de detección y para cada filtro.
Como se trata de un fenómeno que depende de una cantidad importante de variables vinculadas entre si y cuya ley física desconocemos, existen otras aproximaciones que incluyen términos de orden superior y que permiten, a costa de una mayor complejidad, reducir los errores.
En las ecuaciones planteadas las incógnitas serán los valores de los “ceros” Au, Ab, Av ; los valores de la extinción k´u, k´b, k´v y los valores de la corrección por color k´´u, k´´b, k´´v.
Para determinarlos se deberán observar, en la misma noche, varias estrellas estándar. Lógicamente tratándose de variables “medidas” no habrá “una solución” sino que podrá buscarse el conjunto de valores más probables, por ejemplo con el método de los mínimos cuadrados.
Seguir leyendo sobre Sistemas fotométricos (basado en el trabajo de Bessel 2005)
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Bibliografía:
Material didáctico de la cátedra (unidades 1 y 2)
The CCD photometric cookbook, J. Palmer y A.C. Davenhall. 2001
Técnicas experimentales en Astrofísica - Jaime Zamorano - UCM- Fotometría (PPT)
Photometric Precision and Accuracy, C. Sterken, E.F. Milone, and A. Young
To Measure the Sky-An Introduction to Optical Observational Astronomy, F.R, Chromey
Photometric Systems, Neil Phillips.